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Exercice
BAC - 2013

Pour tout entier naturel `n` non nul , on pose : `u_n = ((arctann)/(arctan(n+1)))^(n^2)` et `v_n = ln(u_n) `

1) Vérifier que ` forall n >= 1 : v_n = n^2 (ln(arctann) - ln(arctan(n+1)))`

2) En utilisant le théorème des accroissements finis montrer que :

`( forall n >= 1 ) ( exists c in ] n , n+1[ ) v_n = - n^2/((1+c^2) arctanc)`

3) Montrer que ` forall n >= 1 : -n^2/((1+n^2) arctann) < v_n < -n^2/((1+(n+1)^2) arctan(n+1))`

4) Calculer `lim_{ n to +infty} u_n `
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